Wenn du noch unsicher bist
Denke an das Dezimalsystem: 7 + 5 = 12 – die 2 bleibt stehen, die 1 wandert eine Stelle nach links. Im Binärsystem passiert das schon bei 1 + 1: Ergebnis 0, Übertrag 1.
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✓ Kurzcheckallein
Kurzcheck · Halbaddierer
Ein Halbaddierer addiert zwei Bits.
Legende: A, B = Bits. Ü = Übertrag, S = Summe.
- Fülle die Tabelle und prüfe.
- Begründe mit der Binärzahl, warum 1 + 1 den Übertrag 1 hat.
- Vergleiche und stufe dich privat ein.
Das hältst du fest: geprüfte Tabelle, Begründung, Selbsteinstufung
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✓ FörderungalleinWiederholungscheck
Förderung und Wiederholungscheck
Wenn dein Kurzcheck sicher war
Rechne schriftlich 0110 + 0011 im Heft und notiere die Überträge.
Wiederholungscheck für alle
Legende: A, B = Bits eines Halbaddierers.
Gib den Term für den Übertrag Ü an. Bleibt der Check falsch, zeige ihn der Lehrkraft für eine gezielte Hilfe.
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B12 · Volladdierer
◉ Einstiegallein
Überträge wandern
Am Ende von Block 11 stand die Frage: Bei mehrstelligen Zahlen kommt ein Übertrag von rechts – der Halbaddierer hat dafür keinen Eingang. Wer 0111 + 0011 schriftlich rechnet, muss in fast jeder Stelle drei Bits addieren.
Leitfrage: Welche Schaltung addiert eine Stelle mit Übertrag – und wie werden mehrere Stellen verbunden?
Dein Ziel heuteIch kann die Tabelle des Volladdierers aufstellen, ihn aus zwei Halbaddierern und einem ODER bauen und testen und eine 4-Bit-Addition in der Kette verfolgen.
Das hältst du fest: eine Vermutung: Wie viele Eingänge braucht eine Stelle?
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✎ Auftrag 1zu zweit
1 · Schriftlich rechnen und Tabelle
Zuerst rechnest du von Hand, dann beschreibst du eine einzelne Stelle als Tabelle.
Legende: A, B = Bits der Stelle. Üein = Übertrag von rechts. S = Summenbit. Üaus = Übertrag nach links.
- Rechne 0111 + 0011: Trage von rechts nach links die Überträge und die Summe ein und prüfe.
- Fülle die Tabelle einer Stelle (drei Eingänge) und prüfe.
- Vergleiche die Spalte Üaus mit der Mehrheit aus Block 06.
Das hältst du fest: Rechnung mit Überträgen, 8-Zeilen-Tabelle, Vergleichssatz
Werkzeug: Stellenraster und Tabelle mit Prüfung
Leichterer Einstieg
Rechne nur die rechte Stelle und die Zweierstelle. Übertrage dann dein Vorgehen auf die übrigen Stellen.
Gestufte Hilfen
Hinweis
Zähle in jeder Stelle die Einsen (A, B, Übertrag): 0 → 0, 1 → S = 1, 2 → Übertrag, 3 → S = 1 und Übertrag.
Wortbank und Satzanfänge
Anzahl der Einsen · Summenbit · Übertrag nach links · mindestens zwei
Schritt für Schritt
Überträge in die Stellen 16, 8, 4, 2: 0, 1, 1, 1. Summe: 01010. Tabelle: Üaus = 1 ab zwei Einsen; S = 1 bei einer oder drei Einsen.
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▣ WissenHeft
Wissen · Der Volladdierer
Volladdierer (VA)
Addiert drei Bits: A, B und Üein. Ausgänge: S und Üaus.
Summe
S = (A ⊕ B) ⊕ Üein – zwei XOR mit je zwei Eingängen.
Übertrag
Üaus = (A ∧ B) ∨ ((A ⊕ B) ∧ Üein) – gleichwertig zur Mehrheit (A∧B) ∨ (A∧Üein) ∨ (B∧Üein).
Kette
Üaus einer Stelle wird Üein der nächsten Stelle links. Vier VA ergeben einen 4-Bit-Addierer.
Achtung LogikSim
Kein XOR mit drei Eingängen verwenden: Es bedeutet dort „genau einer“ und liefert bei 111 den falschen Wert.
Der ganze Text zum Nachlesen
Ein Volladdierer entsteht aus zwei Halbaddierern und einem ODER-Gatter. Der erste Halbaddierer addiert A und B: Seine Summe heißt P, sein Übertrag Q. Der zweite Halbaddierer addiert P und den Übertrag von rechts Üein: Seine Summe ist das Ergebnis S, sein Übertrag heißt R.
Ein Übertrag nach links entsteht, wenn der erste oder der zweite Halbaddierer einen Übertrag liefert. Deshalb gilt Üaus = Q ∨ R. Beide können nie gleichzeitig 1 sein, das ODER genügt.
Für mehrstellige Zahlen werden Volladdierer hintereinander geschaltet: Der Übertrag wandert von rechts nach links von Stelle zu Stelle. Bei der rechten Stelle ist Üein = 0. Entsteht an der linken Stelle noch ein Übertrag, passt das Ergebnis nicht mehr in vier Bits.
Weil der Übertrag durch alle Stellen wandern muss, dauert es bei langen Ketten etwas, bis das Ergebnis feststeht.
Merksatz: Volladdierer = zwei Halbaddierer + ODER; die Überträge wandern von Stelle zu Stelle.
Beispiel an einem anderen Fall
Stelle mit A = 1, B = 0, Üein = 1: Erster HA: P = 1, Q = 0. Zweiter HA: S = P ⊕ Üein = 0, R = 1. Üaus = Q ∨ R = 1. Probe: 1 + 0 + 1 = 2 = 10₂.
Das hältst du fest: Netz mit P, Q, R, beide Terme und die Kettenregel im Heft.
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✎ Auftrag 2zu zweitLogikSim
2 · Volladdierer bauen und testen
Baue den Volladdierer aus Grundgattern nach dem Netz – nicht mit dem fertigen Baustein VA.
Legende: Schalter A, B, Üein. LEDs S und Üaus. Nur XOR mit zwei Eingängen.
- Gib die Terme für S und Üaus ein und prüfe.
- Baue das Netz in LogikSim: zwei XOR, zwei UND, ein ODER.
- Teste alle acht Fälle für S und Üaus.
- Speichere als B12_Nachname_Vorname_Volladdierer_v1.sim.
Das hältst du fest: zwei geprüfte Terme, zwei Protokolle (8/8), Datei
Werkzeug: Termprüfer, LogikSim, Testprotokolle
Protokoll S
Protokoll Üaus
Leichterer Einstieg
Baue zuerst den ersten Halbaddierer (A, B → P, Q) und teste ihn. Ergänze dann den zweiten Halbaddierer und zuletzt das ODER.
Gestufte Hilfen
Hinweis
Der zweite Halbaddierer bekommt P (nicht A!) und Üein.
Wortbank und Satzanfänge
erster Halbaddierer · zweiter Halbaddierer · P · Q · R · ODER
Schritt für Schritt
P = A ⊕ B, Q = A ∧ B, S = P ⊕ Üein, R = P ∧ Üein, Üaus = Q ∨ R.
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✎ Auftrag 3allein
3 · Die 4-Bit-Kette verfolgen
Vier Volladdierer addieren 0101 + 0011. VA0 ist die rechte Stelle (Üein = 0), VA3 die linke.
Legende: Jeder VA bekommt die Bits seiner Stelle und den Übertrag des rechten Nachbarn.
- Trage für jede Stelle den ankommenden Übertrag und das Summenbit ein und prüfe.
- Nenne das Ergebnis dezimal und prüfe es mit 5 + 3.
Das hältst du fest: vollständige Kette und dezimale Probe
Werkzeug: Stellenraster mit Prüfung
Leichterer Einstieg
Bearbeite nur VA0 und VA1: Welcher Übertrag entsteht rechts und kommt bei VA1 an?
Gestufte Hilfen
Hinweis
VA0: 1 + 1 + 0 = 10 → S = 0, Übertrag 1 nach VA1.
Wortbank und Satzanfänge
VA0 · VA1 · ankommender Übertrag · Summenbit
Schritt für Schritt
Überträge ein (VA3…VA0): 1, 1, 1, 0. Summe 1000 = 8.
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▮ Rückblickallein
Rückblick · Das falsche XOR
Eine Gruppe spart ein Gatter: Für S nimmt sie in LogikSim ein =1-Gatter mit drei Eingängen A, B, Üein. Bei sieben Tests ist alles richtig.
- Welcher Fall ist falsch, und warum?
- Wie wird repariert?
Das hältst du fest: falscher Fall, Grund, Reparatur
Brücke: Jetzt könnt ihr entscheiden und rechnen – Zeit für ein eigenes Projekt.
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Dateinamen: B12_Nachname_Vorname_Folienheft.pdf und B12_Nachname_Vorname_Arbeitsstand.json
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◇ KnobelnzusätzlichLogikSim
Knobeln · 4-Bit-Addierer und Überlauf
Legende: Vier Volladdierer; A3…A0 und B3…B0; S3…S0 und Üaus (vorzeichenlose Zahlen).
- Baue in LogikSim einen 4-Bit-Addierer aus vier Volladdierern (du darfst deinen VA kopieren).
- Teste 0101 + 0011 und 1111 + 0001.
- Erkläre, was Üaus = 1 bei 1111 + 0001 bedeutet.
Das hältst du fest: Aufbau, zwei Tests, Erklärung